2023　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\text{ア}\text{〜}$$\text{エ}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$n$を$2$以上の整数とする．整数$k\in \{1,2,\cdots ,n\}$に対し，$y$軸に平行な直線$x=2^{k-1}$と曲線$y={\log }_{2}x$の交点を${\mathrm{P}}_k$とする．このとき，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$と直線$x=2^{n-1}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(n)$とする．不等式

${\displaystyle \frac{S(n)}{2^n}}\geqq 2023$

を満たす最小の$n$は$\text{ア}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$m\text{，}$$n$を正の整数とする．半径$1$の円に内接する$\mathrm{▵ABC}$が

$\sin \mathrm{\angle A}={\displaystyle \frac{m}{17}}\text{，}$$\sin \mathrm{\angle B}={\displaystyle \frac{n}{17}}\text{，}$${\sin }^2\mathrm{\angle C}={\sin }^2\mathrm{\angle A}+{\sin }^2\mathrm{\angle B}$

を満たすとき，$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径は$\text{イ}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$n$を正の整数とする．次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす$n$次関数$f(x)$のうち$n$が最小のものは，$f(x)=\text{ウ}$である．

(ⅰ)　$f(1)=2$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}(x+1)f(x)\mathit{dx}=0$

(ⅲ)　すべての正の整数$m$に対して，${\displaystyle {\int }_{-1}^1{\left|x\right|}^{m}f(x)\mathit{dx}=0}$

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　次の操作(＊)を考える．

(＊)　$1$個のサイコロを$3$回続けて投げ，出た目を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$とする．$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を$3$で割った余りをそれぞれ$r_1\text{，}$$r_2\text{，}$$r_3$とするとき，座標空間の点$(r_1,r_2,r_3)$を定める．

この操作(＊)を$3$回続けて行い，定まる点を順に${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$とする．このとき，${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$が正三角形の異なる$3$頂点となる確率は$\text{エ}$である．

【２】　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$1$の球に内接する四面体で，その$4$頂点${\mathrm{T}}_1\text{，}$${\mathrm{T}}_2\text{，}$${\mathrm{T}}_3\text{，}$${\mathrm{T}}_4$が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすものを考える．

(ⅰ)　$\left|\overrightarrow{{\mathrm{T}}_1{\mathrm{T}}_2}\right|=\sqrt{3}$

(ⅱ)　$k(\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{T}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{T}}_2})+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{T}}_3}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{T}}_4}=\overrightarrow{0}$

ここで，$k$は$2$未満の正の実数とする．次の設問に答えよ．

(1)　線分${\mathrm{T}}_3{\mathrm{T}}_4$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{T}}_1{\mathrm{T}}_2\mathrm{M}$の面積を$k$を用いて表せ．

(2)　各$k$に対し，上の条件を満たす四面体の体積の最大値を$V(k)$とする．$V(k)$が最大になるときの$k$の値を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とする．次の設問に答えよ．

(1)　$n^2+n+1$が$7$で割り切れるような$n$を小さい順に並べるとき，$100$番目の整数$n$を求めよ．

(2)　$n^2+n+1$が$91$で割り切れるような$n$を小さい順に並べるとき，$100$番目の整数$n$を求めよ．