2023　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　曲線$y=a{x}^2+b$上に$x$座標が$p$である点$\mathrm{P}$をとり，点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．ただし，定数$a\text{，}$$b$は$a>0\text{，}$$b>0$とする．次の問に答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を$a\text{，}$$b\text{，}$$p$を用いて表せ．

(2)　接線$l$と曲線$y=a{x}^2$で囲まれた図形の面積$S$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　接線$l$と曲線$y=a{x}^2+{\displaystyle \frac{b}{2}}$で囲まれた図形の面積を$S^{\prime }$としたとき，$S^{\prime }$を$S$を用いて表せ．

(4)　接線$l$と曲線$y=a{x}^2+c$で囲まれた図形の面積を$S^{″}$とする．$S^{″}={\displaystyle \frac{S}{2}}$のとき，$c$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．ただし$b>c$とする．

【２】　定数$m$に対して$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の方程式

$xyz+x+y+z$$=xy+yz+zx+m$$\cdots \text{①}$

を考える．次の問に答えよ．

(1)　$m=1$のとき$\text{①}$式をみたす実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組をすべて求めよ．

(2)　$m=5$のとき$\text{①}$式をみたす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組をすべて求めよ．ただし$x\leqq y\leqq z$とする．

(3)　$xyz=x+y+z$をみたす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組をすべて求めよ．ただし$0<x\leqq y\leqq z$とする．

【３】　$a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$a^3$を$a$の$1$次式で表せ．

(2)　$a$は整数であることを示せ．

(3)　$b=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}+\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$とするとき，$b$を越えない最大の整数を求めよ．