2023　早稲田大学　人間科学部共通テスト利用MathJax

【１】

(1)　表面に$1\text{，}$$7\text{，}$$17$の数字が書かれている$3$種類のカードがそれぞれ$3$枚，計$9$枚ある．これらの$9$枚のカードを裏返してよく混ぜ，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人のプレイヤーが$3$枚ずつとり，表面に書かれた数字の積をそのプレイヤーの得点とする．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の得点の最小公倍数が$2023$となる確率を求めよ．

【１】

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{c}y\geqq x^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ x^2+y^2\leqq 1\end{array}$

で表される領域の面積を求めよ．

【１】

(3)　関数$y=2\sin \theta (2\cos \theta -3\sin \theta )$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表すものとする．連立方程式

$\{\begin{array}{l}2{[x]}^2-[y]=x+y\\ [x]-[y]=2x-y\end{array}$

を満たす実数$x\text{，}$$y$について，以下の間いに答えよ．

(1)　$3x\text{，}$$3y$はそれぞれ整数であることを示せ．

(2)　$x\text{，}$$y$の組をすべて求めよ．

【３】

(1)　$2^{63}\text{，}$$7^{21}\text{，}$${17}^{16}$を大きい順に並べよ．

【３】

(2)　右図のように，自然数$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$を$1$を中心として時計回りに渦巻き状に並べる．中心の$1$の場所を$0$行$0$列とし，上方向を行の正，下方向を行の負，右方向を列の正，左方向を列の負として，各数字の位置を表すものとする．例えば，数字$16$は$-2$行$-1$列にある．以下の問いに答えよ．

(a)　数字$1000$は，何行何列の位置にあるか求めよ．

(b)　$n$を自然数とし，$n$行$0$列の位置にある数字を$a_n$とするとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

【４】

(1)　$0\leqq x<2\pi \text{，}$$k>0$とする．$(\cos x+1)(\sin x+1)=k$の解の個数が$2$個となるような定数$k$の範囲を求めよ．

【４】(2)　$a$を実数の定数とする．不等式$(x+a)(x+1)\leqq 2$について，以下の問いに答えよ．

(a)　$a=0$のとき，この不等式を満たす整数$x$をすべて求めよ．

(b)　この不等式を満たす整数$x$が，ちょうど$3$個となるような定数$a$の範囲を求めよ．

【５】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\left({\displaystyle \frac{\log x}{x}}\right)}^n$

と定義し，曲線$y=f_n(x)$の接線のうち，原点を通り，かつ傾きが正であるものを直線$l_n$とする．さらに，曲線$y=f_n(x)$と直線$l_n$の接点の$x$座標を$p_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　導関数$f_n^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$p_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\{{(p_n)}^n{f}_n(p_n)\}$を求めよ．