2023　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　$n$を自然数とする．$1$個のさいころを投げる試行において，$1$または$2$の目が出れば$2$点，$3$以上の目が出れば$1$点を得るとする．この試行をくり返し行うとき，得点の合計が途中でちょうど$n$点となる確率を$p_n$とすると，$p_2-p_1=\text{ア}\text{，}$$p_4=\text{イ}$である．また，等式$p_{n+2}-p_{n+1}=a(p_{n+1}-p_n)$がすべての自然数$n$で成り立つような定数$a$の値は$a=\text{ウ}$であり，$p_n$を$n$の式で表すと，$p_n=\text{エ}$となる．一方，$n$が$2$以上の自然数のとき，得点の合計が途中で，ちょうど$n$点となることなくちょうど$(n+5)$点となる確率$q_n$を$n$の式で表すと$q_n=\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　$i$を虚数単位とする．$-8$の$3$乗根のうち虚部が正のものを$\alpha$とすると，$\alpha$の虚部は$\text{カ}$である．次に，複素数$\beta \text{，}$$\gamma$は$2$つの条件$|\beta -\gamma |=4\sqrt{3}\text{，}$$4\alpha +(\sqrt{3}-2+i)\beta =(\sqrt{3}+2+i)\gamma$を同時に満たすとする．このとき，複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$を考えると，$\mathrm{\angle A}$の大きさは$\text{キ}\pi \text{，}$$\mathrm{\angle B}$の大きさは$\text{ク}\pi \text{，}$$|\alpha -\gamma |=\text{ケ}-\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径は$\text{コ}$である．

【２】　$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=x^2$と直線$l\text{：}y=f(x)$が，$\alpha <\beta$として異なる$2$点$(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}$$(\beta ,{\beta }^2)$で交わっている．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=ax+b$とする．$a\text{，}$$b$のそれぞれを$\alpha$と$\beta$の式で表せ．

(2)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形$D$の面積は$36$である．このとき，$\beta -\alpha$の値を求めよ．

(3)　(2)の図形$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．実数$c$を$c={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$とするとき，$V$を$\alpha \text{，}$$\beta$を含まない$c$の式で表せ．$\alpha$が実数全体を動くとき，$V$の最小値とそのときの$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$と点$\mathrm{A}$$(-1,0,2)$がある．直線が球面$S$とただ$1$つの共有点をもつとき，直線は球面$S$に接するという．$x\text{，}$$y\text{，}$$z$がともに整数であるとき，点$(x,y,z)$を格子点とよぶ．次の問いに答えよ．

【４】　$n$を自然数とし，$x$を正の実数，$t$を実数とする．このとき，次式で定まる$x$の関数$f_n(x)$と$t$の関数$g(t)$について，次の問いに答えよ．