2023　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$A\text{，}$$\alpha$は$A>0\text{，}$$0\leqq \alpha <2\pi$をみたす定数とする．実数$x$に関する恒等式として$3\cos x-\sqrt{3}\sin x=A\sin (x-\alpha )$が成り立つとき$A=\text{ア}\text{，}$$\alpha =\text{イ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$n$を自然数とし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k$とする．このとき$n$を用いてそれぞれ$S_n=\text{ウ}\text{，}$${\displaystyle \sum _{j=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{S_j}}=\text{エ}\text{，}$${\displaystyle \sum _{p=1}^{2n}}{(-1)}^p{S}_p=\text{オ}$と表すことができる．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　$m$を自然数とする．方程式$14x+3y=m$をみたし，$x\text{，}$$y$がともに整数となる解を考える．

　$m=1$のとき，$x=-1\text{，}$$y=\text{カ}$は，方程式$14x+3y=1$の解の$1$つであるので，$14x+3y=1$の整数解$(x,y)$は$14(x+1)=-3(y-\text{カ})$をみたす．$14$と$3$は互いに素なので，整数$k$を用いて$x+1=3k$と表せ，$y=\text{キ}$となる．

　次に，$m=148$のとき$14x+3y=148$の解のうち，$x\text{，}$$y$がともに正の整数であるものを考える．$x+y$は，$x=\text{ク}\text{，}$$y=\text{ケ}$のときに最大値$\text{コ}$をとる．

【２】　$m$を実数の定数とする．$3$次方程式$2x^3+3x^2-12x-6m=0$は，相異なる$3$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$をもつとする．ただし，$\alpha <\beta <\gamma$とする．

(1)　$3$次関数$y＝{\displaystyle \frac{1}{6}}(2x^3+3x^2-12x)$の極大値と極小値をそれぞれ求めよ．

(2)　$xy$平面上において，$3$次関数$y={\displaystyle \frac{1}{6}}(2x^3+3x^2-12x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$m$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　$\gamma$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$a>0$とする．平面上において，$\mathrm{▵ABC}$は$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=a$であり，点$\mathrm{O}$は$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心であるとする．また，$2$つの実数$s\text{，}$$t$は，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたすとする．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$が存在するための$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$a$を用いて表せ．

(3)　関係式$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを示し，これを利用して$s\text{，}$$t$をそれぞれ$a$を用いて表せ．ただし，$s\text{，}$$t$を求めるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2=2$が成り立つことを証明なしに用いてもよい．

(4)　外接円の中心$\mathrm{O}$が，$\mathrm{▵ABC}$の内部にあるための$a$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし，点$\mathrm{O}$が$\mathrm{▵ABC}$の辺や頂点にある場合を除くとする．