2023　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$3$までの異なる番号を$1$つずつ書いた$3$枚のカードが$1$つの袋に入っている．この袋からカードを$1$枚取り出し，カードに書かれている番号を記録して袋に戻すという試行を考える．この試行を$n$回繰り返したときに記録した番号を順に$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_n$とし，$1\leqq k\leqq n-1$を満たす整数$k$のうち$X_k<X_{k+1}$が成り立つような$k$の値の個数を$Y_n$とする．$n=3$のとき，$X_1=X_2<X_3$となる確率は$\text{ア}\text{，}$$X_1\leqq X_2\leqq X_3$となる確率は$\text{イ}$であり，$Y_3=0$である確率は$\text{ウ}\text{，}$$Y_3=1$である確率は$\text{エ}$である．$Y_n=0$である確率を$n$の式で表すと，$\text{オ}$となる．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　$i$を虚数単位とし，$w=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$とする．$2$つの条件$0\leqq k\leqq 23\text{，}$$w^k=-1$を同時に満たす整数$k$は$\text{カ}$である．条件$0\leqq k_1<k_2\leqq 23$を満たす整数$k_1\text{，}$$k_2$のうち，$w^{k_1}\text{，}$$w^{k_2}$の実部がともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるものは$k_1=\text{キ}\text{，}$$k_2=\text{ク}$である．$2$つの条件$0\leqq m\leqq 23\text{，}$$w^m+{(\bar{w})}^m<1$を同時に満たす整数$m$は$\text{ケ}$個あり，$2$つの条件$0\leqq n\leqq 23\text{，}$$|w^n-2|\leqq \sqrt{3}$を同時に満たす整数$n$は$\text{コ}$個ある．ただし，$w$と共役な複素数を$\bar{w}$で表す．

【２】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,6)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-5,0)$がある．点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$を${\mathrm{P}}_1=\mathrm{A}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+1}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}-{\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{120}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$u_n=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$u_{n+1}$を$u_n$を用いて表せ．また，$u_n$を$n$の式で表せ．

(3)　自然数$n$に対して，実数$t_n$は$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t_n\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たすとする．$t_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$2$以上の自然数$n$に対して，$\mathrm{▵OB}{\mathrm{P}}_n$の面積を$S_n$とする．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　実数$\theta$が$\cos (2\pi \theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{4}}$を満たすとする．数列$\mathrm{\{}{a}_n\}$を$a_n=2{(\sqrt{3}+1)}^n\cos (2\pi n\theta )$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．次の問いに答えよ．ただし，必要ならば，整数$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$が等式$p+q\sqrt{3}=r+s\sqrt{3}$を満たすとき，$p=r\text{，}$$q=s$が成り立つことを証明なしに用いてよい．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$の値を求めよ．

(2)　$m$を整数とし，$t$を実数とする．$\cos t\cdot \cos (mt)$を$\cos ((m+1)t)\text{，}$$\cos ((m-1)t)$を用いて表せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=c{a}_{n+1}+d{a}_n$を満たす定数$c\text{，}$$d$を求めよ．

(4)　すべての自然数$n$に対して，$a_n=p_n+q_n\sqrt{3}$となる整数$p_n\text{，}$$q_n$が存在する．このことは証明なしに用いてよい．このとき，$p_{n+2}\text{，}$$q_{n+2}$を$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$p_{n+1}\text{，}$$q_{n+1}$の式で表せ．また，$p_n$が奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ．

(5)　$\cos (2\pi N\theta )=1$を満たす自然数$N$は存在しないことを示せ．ただし，必要ならば，すべての自然数$n$に対して，${(\sqrt{3}+1)}^n=r_n+s_n\sqrt{3}$を満たす整数$r_n\text{，}$$s_n$が存在することを証明なしに用いてよい．

【４】　$f(x)=e^x+3e^{-x}$とし，曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．曲線$C$上の点$(t,f(t))$における接線を$l_t$とする．次の問いに答えよ．ただし，必要ならば，$1<\log 3<2$であることを証明なしに用いてよい．

(1)　不等式$|f^{\prime }(t)|\leqq 2$を満たす実数$t$のとりうる値の範囲$I$を求めよ．

(2)　$l_t$の$y$切片を$v$とする．実数$t$が(1)で求めた範囲$I$全体を動くとき，$v$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$|f^{\prime }(t)|\leqq 2\text{，}$かつ，$l_t$が点$(1,w)$を通るような実数$t$が存在するとする．このとき，実数$w$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たす点$(p,q)$全体からなる領域を$D$とする．$D$の面積を求めよ．

(ⅰ)　$0\leqq p\leqq 1$

(ⅱ)　$|f^{\prime }(t)|\leqq 2\text{，}$かつ，$l_t$が点$(p,q)$を通るような実数$t$が存在する．