2023　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

試行(＊)：$1$個のさいころを投げて，出た目が$1$の場合は袋$\mathrm{A}$の中の玉と袋$\mathrm{C}$の中の玉を交換し，出た目が$1$以外の場合は袋$\mathrm{B}$の中の玉と袋$\mathrm{C}$の中の玉を交換する．

このとき，$c_2=\text{ア}$である．$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，等式$c_{n+2}=p(a_n+b_n)+q{c}_n$が成り立つような定数$p\text{，}$$q$の値はそれぞれ$p=\text{イ}\text{，}$$q=\text{ウ}$であり，等式$c_{n+2}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=r(c_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})$が成り立つような定数$r$の値は$r=\text{エ}$である．したがって，自然数$m$に対して，$c_{2m}$を$m$の式で表すと$c_{2m}=\text{オ}$となる．

(1)　点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{G}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{F}$と点$\mathrm{H}$の座標をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　$xy$平面上の四角形$\mathrm{EFHG}$の面積を$S$とする．${(t+2)}^{2}S$を$t$の式で表せ．

(4)　$t$が正の実数全体を動くとき，(3)の$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

$C_1\text{：}{(x+2)}^2+y^2=1\text{，}$$C_2\text{：}{(x-3)}^2+y^2=4$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$(3,0)$と直線$x-2\sqrt{6}y+7=0$の距離を求めよ．

(2)　直線$l$は$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$とそれぞれ点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$で接し，点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$の$y$座標はいずれも正であるとする．${\mathrm{P}}_1$の座標を求めよ．

(3)　中心の座標が$(-{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{12}{5}})$である円$D$が$C_1\text{，}$$C_2$の両方に外接しているとする．$D$の半径を求めよ．また，このときの$C_1$と$D$の接点の座標を求めよ．

(4)　$q$を正の実数とし，中心の$y$座標が$q$であるような円$E_q$が$C_1\text{，}$$C_2$の両方に外接しているとする．$E_q$の中心の$x$座標を$p$としたとき，$p$を$q$の式で表せ．また，極限$\underset{q\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{p}{q}}$を求めよ．

(5)　(4)の円$E_q$と$C_2$の接点の座標を$(s,t)$とする．極限$\underset{q\to \infty }{\lim }s\text{，}$$\underset{q\to \infty }{\lim }t$をそれぞれ求めよ．

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-2px}\cos (nx)\mathit{dx}$

とおく．次の問いに答えよ．必要ならば，実数$r$に対して$\underset{p\to \infty }{\lim }{p}^r{e}^{-\pi p}=0$が成り立つことを証明なしに用いてよい．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{-2px}\cos x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{e}^{-2px}\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$I_0\text{，}$$I_2$をそれぞれ$p$の式で表せ．

(3)　$1$以上の整数$n$に対して，不等式$|I_n-{\displaystyle \frac{2p}{4p^2+n^2}}|\leqq e^{-\pi p}$が成り立つことを示せ．

(4)　実数$c$に対して，$p\to \infty$のとき$p^c(I_0{I}_4-{I_2}^2)$が$0$でないある定数$\alpha$に収束するとする．このときの$c$の値と$\alpha$の値を求めよ．