2023　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　ある地点のある$5$日間の最低気温のデータ（単位は$\mathrm{°C}\text{）}$は

$a\text{，}$$4.4\text{，}$$3.8\text{，}$$-0.8\text{，}$$9.2$

で，データの中央値が$a$であった．このデータに$6$日目の最低気温として$6.2$が追加されたときの中央値が$3.2$となった．はじめの$5$日間のデータの平均値と分散を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の二人が引き分けのないゲームを繰り返し行う．$\mathrm{A}$が$2$連勝すれば$\mathrm{A}$の優勝，$\mathrm{B}$が$2$勝すれば$\mathrm{B}$の優勝とする．$1$回のゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率は$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$であるとき，優勝する確率が$\mathrm{B}$の方が小さくなるような$p$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x\geqq \cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$3^{2023}$は何桁の整数か求めよ．また，最高位の数を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$の内部の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{QP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=2\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}$が成立するとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．

【２】　$x$は正の実数とする．$n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots$に対して，${(x)}_n$を

${(x)}_n=\{\begin{array}{ll}x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)& \text{（}n=1，2\text{，}\cdots \text{）}\\ 1& \text{（}n=0\text{）}\end{array}$

と定義する．さらに，$S_n^m$は$x^m$の係数として

${(x)}_n={\displaystyle \sum _{m=0}^n}{S}_n^m{x}^m$

と定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x^2=a{(x)}_2+b{(x)}_1+c$をみたす$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　$S_0^0\text{，}$$S_1^1$の値を求めよ．

(3)　$n\geqq 1$とする．$S_n^0\text{，}$$S_n^n\text{，}$$S_n^{n-1}$を求めよ．

(4)　$n\geqq 1$のとき，$S_n^1={(-1)}^{n-1}(n-1)!$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(5)　$1\leqq k\leqq n$のとき，$S_{n+1}^k=S_n^{k-1}-n{S}_n^k$が成り立つことを示せ．

【３】　$a$を正の実数とする．関数$f(x)=|x^3-a^{2}x|$について次の問いに答えよ．

(1)　$f(2)$を求めよ．

(2)　$f(a+1)$を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，$-a\leqq x\leqq a$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求め，グラフに記入せよ．

(4)　$S(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(5)　$S(a)$の最小値を求めよ．