2023　気象大学校　多肢選択式問題MathJax

【１】　$a$を正の定数とする．不等式$|2x-3|\leqq a$を満たす整数$x$がちょうど$8$個存在するような$a$の範囲として正しいのはどれか．

$\text{1．}5<a<10$$\text{2．}5\leqq a<9$$\text{3．}7<a<9$$\text{4．}7\leqq a<9$$\text{5．}7\leqq a\leqq 10$

【２】　$2$次方程式$x^2-2ax+2a+3=0$が共に$2$より大きい相異なる実数解をもつための定数$a$の範囲として正しいのはどれか．

$\text{1．}a<-1\text{，}3<a$$\text{2．}-1<a<3$$\text{3．}2<a<{\displaystyle \frac{7}{2}}$$\text{4．}3<a<{\displaystyle \frac{7}{2}}$$\text{5．}a>3$

【３】　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=120\mathrm{°}$の$\mathrm{▵ABC}$について，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さはいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{9}{8}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{15}{8}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{9}{4}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{21}{8}}$

【４】　$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}\text{，}$$\mathrm{d}\text{，}$$\mathrm{e}$の$5$人が三つの部屋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に入るとき，空き部屋がない場合の入り方は全部で何通りあるか．

$\text{1．}147\text{通り }$$\text{2．}150\text{通り }$$\text{3．}153\text{通り }$$\text{4．}240\text{通り }$$\text{5．}243\text{通り}$

【５】　等式$abc-5ab+2ac-10a=8$を満たす三つの整数の組$(a,b,c)$の個数はいくらか．

$\text{1．}30\text{個 }$$\text{2．}36\text{個 }$$\text{3．}40\text{個 }$$\text{4．}44\text{個 }$$\text{5．}50\text{個}$

【６】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{AM}\text{，}$$\mathrm{AN}$と対角線$\mathrm{BD}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{BP}=2$であるとき，$\mathrm{PQ}$の長さはいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{5}{3}}$$\text{2．}2$$\text{3．}{\displaystyle \frac{7}{3}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{5}{2}}$$\text{5．}3$

【７】　$a>1$のとき，$a^2+{\displaystyle \frac{9}{a^2-1}}$の最小値はいくらか．

$\text{1．}3$$\text{2．}4$$\text{3．}5$$\text{4．}6$$\text{5．}7$

【８】　連立不等式$x^2+y^2\leqq 4\text{，}$$x+2y+2\geqq 0$の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$2x+y$の最大値と最小値の組合せとして正しいのはどれか．

【９】　$\cos \theta +{\cos }^2\theta =1$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$のとき，${\sin }^6\theta$はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-2}{2}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$\text{3．}\sqrt{5}-2$$\text{4．}\sqrt{5}-1$$\text{5．}\sqrt{5}$

【10】　$\sqrt[4]{3}\text{，}$$\sqrt[5]{4}\text{，}$$\sqrt[6]{5}$の大小を比べ，小さい順に並べたものとして正しいのはどれか．

$\text{1．}\sqrt[4]{3}<\sqrt[5]{4}<\sqrt[6]{5}$$\text{2．}\sqrt[4]{3}<\sqrt[6]{5}<\sqrt[5]{4}$$\text{3．}\sqrt[5]{4}<\sqrt[4]{3}<\sqrt[6]{5}$$\text{4．}\sqrt[5]{4}<\sqrt[6]{5}<\sqrt[4]{3}$$\text{5．}\sqrt[6]{5}<\sqrt[4]{3}<\sqrt[5]{4}$

【11】　関数$f(x)$が等式

$f(x)=2x+{\displaystyle {\int }_0^2}tf(t)\mathit{dt}$

を満たしているとき，${\displaystyle {\int }_0^2}tf(t)\mathit{dt}$の値はいくらか．

$\text{1．}-{\displaystyle \frac{16}{3}}$$\text{2．}-4$$\text{3．}0$$\text{4．}4$$\text{5．}{\displaystyle \frac{16}{3}}$

【12】　数列$\{a_n\}$の第$n$項が$a_n=1+3+3^2+\cdots +3^{n-1}$$={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{3}^{k-1}$で表されるとき，$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{3^{99}-3}{4}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{3^{100}-3}{4}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{3^{100}-203}{4}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{3^{101}-3}{4}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{3^{101}-203}{4}}$

【13】　座標空間内の$4$点$\mathrm{A}$$(0,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(t,2,0)$$\text{（}t$は実数）が同一平面上にあるとき，$t$の値はいくらか．

$\text{1．}-2$$\text{2．}0$$\text{3．}2$$\text{4．}4$$\text{5．}6$