2023　気象大学校　記述式問題MathJax

【１】　$a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\text{，}$$b=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$として，数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を$a_n={\alpha }^n+{\beta }^n$により定める．以下の設問に答えよ．

(1)　$a_2$及び$a_4$を求めよ．

(2)　方程式$x^4+A{x}^3+B{x}^2+Cx+D=0$が$x=\alpha$を解にもつような整数$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$の値の組を一つ求めよ．

(3)　$5$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$a_{n-2}\text{，}$$a_{n-4}$を用いて表せ．

(4)　全ての自然数$m$に対して，$a_{2m}$が整数であることを示せ．

(5)　$a^{2022}$の整数部分の$1$の位の数を求めよ．ただし，実数$x$の整数部分とは，$x$を超えない最大の整数を指すものとする．

【２】　$e$を自然対数の底，$n$を$2$以上の自然数とする．$a_n$を等式

$e=1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}+{\displaystyle \frac{a_n}{(n+1)!}}$

を満たす数とし，関数$f(x)$を

$f(x)$$=e^x\{1+{\displaystyle \frac{1-x}{1!}}+{\displaystyle \frac{{(1-x)}^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{{(1-x)}^n}{n!}}\}$$+{\displaystyle \frac{a_n}{(n+1)!}}{(1-x)}^{n+1}$

で定める．以下の設問に答えよ．なお，必要ならば，$2<e<3$であることは用いてよい．

(1)　$f(0)$及び$f(1)$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を$a_n\text{，}$$n\text{，}$$x$を用いて表せ．

(3)　関係式$a_n=e^c\text{，}$$0<c<1$を満たす実数$c$が存在することを示せ．さらに，不等式$0<{\displaystyle \frac{a_n}{n+1}}<1$が成り立つことを示せ．

(4)　$e$が無理数であることを示せ．

【３】　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,0)$をとり，曲線$C$を楕円${\displaystyle \frac{x^2}{2}}+y^2=1$の$y>0$の部分とする．$C$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$から$l$に下ろした垂線と$l$との交点をそれぞれ$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$の値は，点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,y_0)$とし，ベクトル$\overrightarrow{m}\text{，}$$\overrightarrow{n}$を，それぞれ$\overrightarrow{m}=(2y_0,-x_0)\text{，}$$\overrightarrow{n}=(x_0,2y_0)$により定める．

(ⅰ)　$\overrightarrow{m}$は$l$の方向ベクトル，$\overrightarrow{n}$は$l$の法線ベクトルであることをそれぞれ示せ．

(ⅱ)　(ⅰ)の結果より，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$は実数$s\text{，}$$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\overrightarrow{\mathrm{BP}}+s\overrightarrow{m}=t\overrightarrow{n}$

と表すことができる．$s\text{，}$$t$を$x_0\text{，}$$y_0$を用いて表せ．ただし，分母，分子がともに$x_0$又は$y_0$の高々一次式となるような既約分数式の形で表すこと．

(ⅲ)　$\cos \mathrm{\angle BPH}$の値を，(ⅱ)で導入した$s\text{，}$$t$を用いて表せ．さらに，(ⅱ)の結果を使って，その値$\text{（}\cos \mathrm{\angle BPH}\text{）}$を$x_0$を用いて表せ．

(ⅳ)　$\mathrm{\angle BPH}=\mathrm{\angle APG}$が成り立つことを示せ．

(3)　直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BH}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．